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HHeLiBeXの日記 正道編

日々の記憶の記録とメモ‥

解けない数学の問題

数学

どう考えてみても解けない問題。


上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数の中で最小のものをNとする。Nを9で割ったときの余りはいずれか?

選択肢:

  1. 0
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 8

答えは「0」らしいのだが、どう考えてもこの問題は解けない。
以下、考えたことを元に検証してみる。

検証

以下の説明では、「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替え」た数をMとする。

3倍したときの一の位の数字

「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える」ということは、つまり次のようなことである。

N = 1○○○‥D
M = D○○○‥1

さらに、「元の値の3倍の大きさになる」ということだから、「M = 3×N」が成り立つということである。つまり、一の位に着目すると、「D×3 = ○1」が成り立つということ(1桁の整数(D)は3倍しても高々2桁の整数である)。

0×3= 0
1×3= 3
2×3= 6
3×3= 9
4×3=12
5×3=15
6×3=18
7×3=21
8×3=24
9×3=27

つまり、D=7

3倍したときの最上位桁の数字

同様に、「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える」ということは、つまり次のようなことである。

N = 1○○○‥D
M = D○○○‥1

さらに、「元の値の3倍の大きさになる」ということだから、「M = 3×N」が成り立つということである。
ここで、いったん「上1桁の数字と下1桁の数字を取り替える」ことを忘れて考えてみると、

1000‥0≦1○○○‥D≦1999‥9

であるから、各辺を3倍すると、

3000‥0≦1○○○‥D×3≦5999‥7

となる。真ん中のNを3倍した数はMに等しいので、

3000‥0≦D○○○‥1≦5999‥7

となる。各辺の数の桁数は同じなので、3≦D≦5

矛盾

上記2点は同じ条件を別の角度から検証してみたものだが、D=7かつ3≦D≦5という矛盾した結論に至った。
よって、この問題は解けないはずである。

コンピュータを使用した検証

解答が「0」ということなので、Nは9の倍数であるはずである。
そこで、9の倍数について順に「M = 3×N」が成り立つようなNであるかどうかを、ノートPCをぶん回して調べている。が、31770000000まで調べ終わった現時点でも該当するものは見つかっていない。(Sun Oct 25 22:29:28 JST 2009)