解けない数学の問題

どう考えてみても解けない問題。

上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える(例えば12345の場合52341となる)と元の値の3倍の大きさになる正の整数の中で最小のものをNとする。Nを9で割ったときの余りはいずれか？

選択肢：

1. 0
2. 3
3. 4
4. 5
5. 8

答えは「0」らしいのだが、どう考えてもこの問題は解けない。
以下、考えたことを元に検証してみる。

検証

以下の説明では、「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替え」た数をMとする。

3倍したときの一の位の数字

「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える」ということは、つまり次のようなことである。

N = １○○○‥Ｄ
M = Ｄ○○○‥１

さらに、「元の値の3倍の大きさになる」ということだから、「M = ３×N」が成り立つということである。つまり、一の位に着目すると、「Ｄ×３ = ○１」が成り立つということ(1桁の整数(Ｄ)は3倍しても高々2桁の整数である)。

０×３＝　０
１×３＝　３
２×３＝　６
３×３＝　９
４×３＝１２
５×３＝１５
６×３＝１８
７×３＝２１
８×３＝２４
９×３＝２７

つまり、Ｄ＝７。

3倍したときの最上位桁の数字

同様に、「上1桁の数字が1であり、これを下1桁の数字と取り替える」ということは、つまり次のようなことである。

N = １○○○‥Ｄ
M = Ｄ○○○‥１

さらに、「元の値の3倍の大きさになる」ということだから、「M = ３×N」が成り立つということである。
ここで、いったん「上1桁の数字と下1桁の数字を取り替える」ことを忘れて考えてみると、

１０００‥０≦１○○○‥Ｄ≦１９９９‥９

であるから、各辺を3倍すると、

３０００‥０≦１○○○‥Ｄ×３≦５９９９‥７

となる。真ん中のNを3倍した数はMに等しいので、

３０００‥０≦Ｄ○○○‥１≦５９９９‥７

となる。各辺の数の桁数は同じなので、３≦Ｄ≦５。

矛盾

上記2点は同じ条件を別の角度から検証してみたものだが、Ｄ＝７かつ３≦Ｄ≦５という矛盾した結論に至った。
よって、この問題は解けないはずである。

コンピュータを使用した検証

解答が「0」ということなので、Nは9の倍数であるはずである。
そこで、9の倍数について順に「M = ３×N」が成り立つようなNであるかどうかを、ノートPCをぶん回して調べている。が、31770000000まで調べ終わった現時点でも該当するものは見つかっていない。(Sun Oct 25 22:29:28 JST 2009)