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HHeLiBeXの日記 正道編

日々の記憶の記録とメモ‥

対角線の総数を求めるための考え方

数学

とあるところで次のエントリの存在を知った。
対角線の総数を求める公式 | 片倉学の受験勉強法・受験情報総合ブログ - 楽天ブログ
「他の説明をぜひ考えてみてください!」と書いてあるので、ちょっと考えてみたらしい。ただし、一部、中学受験のお子様には(多分)説明できない内容になっているのであしからず(謎)。

考え方1

対角線、要はn角形の頂点を結ぶ直線の一種なので、まずは何も考えずに直線を引いてみる。

  • 1つ目の頂点から、他の(n-1)個の頂点に直線を引く。
  • 2つ目の頂点には、1つ目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の(n-2)個の頂点に直線を引く。
  • 3つ目の頂点には、1つ目と2つ目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の(n-3)個の頂点に直線を引く。
  • (n-1)個目の頂点には、1つ目と‥と(n-2)個目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の1個の頂点に直線を引く。
  • n個目の頂点には、他のすべての頂点からの直線がすでに引かれているので、引くべき直線はない(0個)。

ここで忘れてはいけないのは、上記の説明だと「辺」もカウントに入れてしまっていること。n角形の辺の数はn本なので、対角線の総数は次のようになる。

(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1+0-n
=1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)-n
=\frac{2\times\{ 1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)\}}{2}-n
=\frac{1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)+1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)}{2}-n
=\frac{\{1+(n-1)\}+\{2+(n-2)\}+\cdots +\{(n-2)+2\}+\{(n-1)+1\}}{2}-n
=\frac{n+n+\cdots +n+n}{2}-n
=\frac{n\times (n-1)}{2}-n
=\frac{n\times (n-1)-2\times n}{2}
=\frac{n\times (n-1-2)}{2}
=\frac{n\times (n-3)}{2}

考え方2

要は、n個の頂点から2つを選び出す組み合わせがどれだけあるかという問題なので。ただし、ここでもn本の「辺」を除かなければならないことを忘れずに。つまり次のようになる。

{}_n \mathrm{C}_2-n
=\frac{n\times (n-1)}{2\times 1}-n
=\frac{n\times (n-1)-2\times n}{2}
=\frac{n\times (n-1-2)}{2}
=\frac{n\times (n-3)}{2}

ま、こんなところで(謎)。元の説明と大して変わらない気も‥