HHeLiBeXの日記正道編

日々の記憶の記録とメモ‥

対角線の総数を求めるための考え方

数学

とあるところで次のエントリの存在を知った。
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「他の説明をぜひ考えてみてください！」と書いてあるので、ちょっと考えてみたらしい。ただし、一部、中学受験のお子様には(多分)説明できない内容になっているのであしからず(謎)。

考え方１

対角線、要は $n$ 角形の頂点を結ぶ直線の一種なので、まずは何も考えずに直線を引いてみる。

1つ目の頂点から、他の $(n-1)$ 個の頂点に直線を引く。
2つ目の頂点には、1つ目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の $(n-2)$ 個の頂点に直線を引く。
3つ目の頂点には、1つ目と2つ目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の $(n-3)$ 個の頂点に直線を引く。
‥
$(n-1)$ 個目の頂点には、1つ目と‥と $(n-2)$ 個目の頂点からの直線がすでに引かれているので、それ以外の1個の頂点に直線を引く。
$n$ 個目の頂点には、他のすべての頂点からの直線がすでに引かれているので、引くべき直線はない(0個)。

ここで忘れてはいけないのは、上記の説明だと「辺」もカウントに入れてしまっていること。 $n$ 角形の辺の数は $n$ 本なので、対角線の総数は次のようになる。

$(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1+0-n$
= $1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)-n$
= $\frac{2\times\{ 1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)\}}{2}-n$
= $\frac{1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)+1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)}{2}-n$
= $\frac{\{1+(n-1)\}+\{2+(n-2)\}+\cdots +\{(n-2)+2\}+\{(n-1)+1\}}{2}-n$
= $\frac{n+n+\cdots +n+n}{2}-n$
= $\frac{n\times (n-1)}{2}-n$
= $\frac{n\times (n-1)-2\times n}{2}$
= $\frac{n\times (n-1-2)}{2}$
= $\frac{n\times (n-3)}{2}$

考え方２

要は、 $n$ 個の頂点から2つを選び出す組み合わせがどれだけあるかという問題なので。ただし、ここでも $n$ 本の「辺」を除かなければならないことを忘れずに。つまり次のようになる。

${}_n \mathrm{C}_2-n$
= $\frac{n\times (n-1)}{2\times 1}-n$
= $\frac{n\times (n-1)-2\times n}{2}$
= $\frac{n\times (n-1-2)}{2}$
= $\frac{n\times (n-3)}{2}$

ま、こんなところで(謎)。元の説明と大して変わらない気も‥