ある自然数が3の倍数であるかどうかを簡単に判別する方法

ある自然数Nを3で割った余りを求めるには、Nの各桁の数を合計した値を3で割った余りを計算すればよい。
当然、この余りが0(zero)であるならば、Nは3の倍数であると言える。

言われてみれば一度はどこかで聞いていることなのだが、ふと、これを証明しようと思ったらしい。

証明

事前準備

まず、次の命題を証明する。

$10^{n}-1$ は3の倍数である。( $n$ は自然数)


    
    
    
    
    
    
    
    
括弧の中は整数なので、全体としては3の倍数になる。
したがって、命題は証明された。

本題

さて、主目的の命題の証明。

任意の整数 $N$ について、次の2つは等しい。

$N$ を3で割った余り

$N$ の各桁の数字の和を3で割った余り

を自然数として、の一の位から数えて桁目の数字をとおく。
すると、は次のように表すことができる。()
    
また、「の各桁の数字の和」は次のように表すことができる。
    
ここで、先に証明した
    は3の倍数である。(は自然数)
を使うために、の式を変形する。

    
    
    
    
ここで、この式の第一項は3の倍数となるため、
を3で割った余りは第二項を3で割った余りに等しくなる。
したがって、命題は証明された。