十の位が奇数である平方数の一の位

問題へのリンクは不明(ない？)だけど‥

ある整数の平方として表せる数のことを平方数といいます。

十の位が奇数であるような平方数の一の位はいくらか？

すうじあむ - 数学博物館

確かに、こんなこと、考えたことがなかった。

で、「いくらか？」と問われれば、答えは一つしかないだろうと分かるのでいくつか試していけば答えが出るが、一段難しくして、証明問題にしてみたらどうだろうかということで考えてみた。

問題

ある整数の平方として表せる数のことを平方数といいます。

十の位が奇数であるようなすべての平方数の一の位は常に一定の数であることを証明し、その数を求めよ。

自分の解答

平方数 a2 について考える。 (aは整数)
nを0以上の整数とし、aのパターンを一の位の数字に着目して分類すると
次の表のようになる。

一の位      正数        負数         平方数
   0     10・n + 0   -10・n - 0   100・n2 +   0・n +  0
   1     10・n + 1   -10・n - 1   100・n2 +  20・n +  1
   2     10・n + 2   -10・n - 2   100・n2 +  40・n +  4
   3     10・n + 3   -10・n - 3   100・n2 +  60・n +  9
   4     10・n + 4   -10・n - 4   100・n2 +  80・n + 16
   5     10・n + 5   -10・n - 5   100・n2 + 100・n + 25
   6     10・n + 6   -10・n - 6   100・n2 + 120・n + 36
   7     10・n + 7   -10・n - 7   100・n2 + 140・n + 49
   8     10・n + 8   -10・n - 8   100・n2 + 160・n + 64
   9     10・n + 9   -10・n - 9   100・n2 + 180・n + 81

まず、各平方数の第一項に着目する。
nが整数であることから、第一項の 100・n2 は100の倍数である。
そのため、十の位および一の位の数字には影響を及ぼさないことから、
この項は除外して考えることができる。

また、各平方数に現れる第二項について考えてみる。
一の位の数を d1 とおくと、第二項は以下の形式で表すことができる。

  2・10・n・d1
    = 10・( 2・d1・n )

括弧で括った部分の値は偶数であるから、この数の十の位は偶数になり、
また一の位は0になる。

以上のことから、各平方数の十の位の偶奇は、第三項の十の位の偶奇と同じである。
また、平方数の一の位の数字は第三項の一の位と等しくなる。

第三項の十の位が奇数となるのは、一の位が 4 と 6 の場合のみである。
この2つのケースでは、いずれの場合も第三項の一の位は6であるから、
十の位が奇数である平方数の一の位は常に一定の数 6 を持つことが証明された。
                                                                    Q.E.D.